Μέμπιους, Άουγκουστ Φέρντιναντ

(August Ferdinand Mοbius, Σούλπφορντ, Σαξονία 1790 – Λιψία 1868). Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος. Το 1815 ξεκίνησε να διδάσκει αστρονομία στη Λιψία και από το 1844 υπήρξε διευθυντής του αστεροσκοπείου της ίδιας πόλης. Στο έργο Βαρυκεντρικός λογισμός (1872), ιδιαίτερα σημαντικό για την ανάπτυξή της προβολικής γεωμετρίας, εισήγαγε για πρώτη φορά τις ομογενείς προβολικές συντεταγμένες (συντεταγμένες βαρυκεντρικές ή του M.), ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι, δεδομένων τριών σταθερών σημείων A, B, Γ, οποιοδήποτε άλλο σημείο Π του επιπέδου τους μπορεί να θεωρηθεί κέντρο βάρους των A, B, Γ, λαμβανομένων με κατάλληλα βάρη α, β, γ, τα οποία υπολογίζονται με βάση έναν συντελεστή αναλογίας· το σημείο Π παριστάνεται από τον Μ. με τον συμβολισμό αΑ + βΒ + γΓ. Αν θεωρηθούν δύο επίπεδα ή δύο χώρους και συμφωνηθεί η ονομασία δύο αντιστοιχούντων σημείων που έχουν τις αυτές συντεταγμένες, προκύπτουν οι συνευθυγραμμίσεις, οι οποίες μελετήθηκαν ευρέως από τον M., ο οποίος εξέθεσε ακόμα μία πλήρη θεωρία των κωνικών τομών με τη χρήση των συντεταγμένων τους. Μία άλλη σειρά έργων του ίδιου συγγραφέα έχει βάση τη γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών και τους μονοσήμαντους μετασχηματισμούς μεταξύ δύο επιπέδων, τα οποία διατηρούν τη συγκυκλικότητα 4 σημείων. Στον Μ. οφείλεται ο νόμος των ακμών, σύμφωνα με τον οποίο είναι δυνατό να δοθούν στις περιμέτρους των εδρών ενός πολυέδρου τέτοιες φορές διαγραφής, ώστε κάθε ακμή, θεωρούμενη από τις δύο έδρες οι οποίες συντρέχουν σε αυτήν, να δέχεται αντίθετα πρόσημα. Ο νόμος αυτός ισχύει για τα κοινά πολύεδρα, αλλά όχι για τα μονόπλευρα, τα οποία ανακαλύφθηκαν από τον Μ. το 1858. Το πιο γνωστό από αυτά είναι η ταινία του Μ., που κατασκευάζεται ως εξής: έστω ΑΒΓΔ ένα πολύ μακρόστενο ορθογώνιο, ύψους AB = ΓΔ και έστω ότι η ΑΔ συγκολλάται προς τη ΓΒ κατά τρόπον A ≡ Γ και Β ≡ Δ. Η επιφάνεια που προκύπτει έχει σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες· είναι μονόπλευρη και γι’ αυτό είναι δυνατόν να διανυθεί ολόκληρη με συνέχεια στις δύο έδρες της· εξάλλου δεν είναι προσανατολίσιμη. Ως πρόσθετο πειστήριο, ας ληφθεί υπόψη μία περιφέρεια, η οποία κείται επί της ταινίας και η οποία έχει το κέντρο της σε ένα μεταβλητό σημείο επί της MN, η οποία συνδέει τα μέσα των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ· διατρέχοντας την περιφέρεια αρχικά κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ το κέντρο της μετακινείται κατά μήκος της MN, στο τέλος, κατά την επιστροφή στη θέση αναχώρησης, η φορά της διαγραφής γίνεται αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Αναλόγως, η προσπάθεια βαφής μίας έδρας της ταινίας καταλήγει στην αναπόφευκτη βαφή ολόκληρης της ταινίας· εξάλλου, σε περίπτωση κοψίματος της ταινίας κατά μήκος της μέσης γραμμής της, προκύπτει μόνο ένας δακτύλιος αντί για δύο.